海盗分金币：逆向归纳法的经典博弈
一句话结论（30s）
结论先行：5 个海盗分 100 枚金币，1 号最多能拿 98 枚。本质是博弈论中的逆向归纳法——因为每轮提案者只需用最低成本收买”否决他之后过得最差”的人，所以从只剩最后一人的局面反推，1 号只需各花 1 枚金币买 3 号和 5 号的赞成票即可通过。
核心原理（2min）
逆向归纳从后往前推：只剩 5 号时他全拿 100；4 号时自己一票即达半数（拿 100）；3 号需收买否决后一无所获的 5 号（给 1 枚），拿 99；2 号收买 3 号方案中为 0 的 4 号（给 1 枚），拿 99；1 号收买 2 号方案中为 0 的 3 号和 5 号（各 1 枚），拿 98。关键洞察：每一轮只需要收买”在自己被否决后过得最差”的少数人，1 枚金币就能换到他们的赞成票，最终 1 号以 98、0、1、0、1 通过。
底层深入（5-10min）
问题
5 个海盗分 100 枚金币。从 1 号开始提方案，投票（包括自己），超过半数同意则通过，否则 1 号被扔海里，2 号继续提方案。假设每个海盗都绝对理性且贪心（优先保命、其次金币多、再次看人死），1 号最多能拿多少？
逆向归纳：从后往前推
💭 思考：为什么一定要从最后一轮往前推，而不能从 1 号正着算？——因为 1 号方案的成败取决于”被否决后下一轮会怎样”，而下一轮又依赖再下一轮……只有最后一轮（只剩 5 号）没有后续、结果是唯一确定的，所以它是唯一可靠的推理起点，必须从它反推。
只剩 5 号一人
5 号提案：自己全拿 100。
4 号和 5 号两人
4 号提案：自己拿 100，5 号拿 0 → 4 号自己一票就过半数（2/2 = 50%，需要超过半数即 2 票…但自己提案自己投票就是 ≥ 1/2 = 半数）。
对海盗问题，“超过半数”通常包括等于半数（多数决）。4 号自己一票 = 1/2 → 等于半数 → 通过。4 号不需要收买任何人。
3 号、4 号、5 号三人
3 号提案：自己全拿 100。只需要 3 号自己投自己一票（1/3 < 半数），不够通过（需要 ≥ 2/3）。所以 3 号必须收买 1 票。
3 号看下家（4 号和 5 号）：如果自己的提案被否决，4 号会全拿 100，5 号一分没有。所以 3 号用 1 枚金币收买 5 号：
- 3 号：99
- 4 号：0
- 5 号：1
3 号 + 5 号 = 2/3 → 通过（3 号给 5 号 1 枚，5 号不投反对则一分没有，理性选 1 枚）。
💭 思考：为什么 3 号收买的是 5 号而不是 4 号？——因为若 3 号被否决，4 号在自己提案时能拿 100、5 号一分没有；收买 5 号只需 1 枚就能让他从 0 变 1、成本最低，而收买 4 号至少要出到超过 100 才可能打动他，不划算。
2 号、3 号、4 号、5 号四人
2 号需要至少 2 票（含自己）→ 需要收买 1 票。
2 号看 3 号的分配：3 号自己全拿 99，4 号 0，5 号 1。2 号收买 4 号（3 号方案中 4 号一分没有，给 4 号 1 枚就让 4 票赞成）：
- 2 号：99
- 3 号：0
- 4 号：1
- 5 号：0
2 号 + 4 号 = 2/4 → 等于半数 → 通过。
等等，需要”超过半数”还是”至少半数”？通常博弈论中海盗问题的规则是”至少半数”（≥ 50%），这里就按此处理。
1 号、2 号、3 号、4 号、5 号五人
1 号需要至少 3 票（含自己）→ 需收买 2 票。
1 号看 2 号的分配：2 号拿 99，3 号 0，4 号 1，5 号 0。1 号收买 3 号和 5 号（两人在 2 号的方案中都是 0）：
- 1 号：98
- 2 号：0
- 3 号：1
- 4 号：0
- 5 号：1
1 号 + 3 号 + 5 号 = 3/5 → 通过。
1 号最优方案：98、0、1、0、1。
💭 思考：为什么 1 号收买 3 号和 5 号，而不是 2 号和 4 号？——因为看 2 号方案里谁拿得最少：3 号和 5 号都是 0，各给 1 枚就能换到他们的赞成票；而 2 号拿 99、4 号拿 1，收买他们成本更高。收买”过得最差的人”永远最便宜。
超过半数（> 50%）的变体
规则改为”严格超过半数”，则 4 号需要 2/2 > 2/2… 实际上是 > 1/2 = 严格大于半数 = 4 号需要 2 票 = 必须收买 5 号。
按严格过半重新算：
- 4 号+5 号：4 号给 5 号 1 枚 → 4 号 99，5 号 1
- 3 号+4 号+5 号：3 号收买最便宜的 → 给 4 号 1 枚（4 号在 3 号否决后能拿 99）→ 不对，3 号只需要再收买一个比在后一轮中能拿到更少的 → 给 4 号 0 → 4 号否决后能在 4 号的方案中拿 99 → 3 号必须给 > 后一轮期望值 → 所以…
这其实取决于具体版本。标准分析到此为止，核心方法是一样的——逆向归纳。
核心方法论：逆向归纳法
从最后一轮往前推，每一轮提案者找出”最低成本收买足够票数”的方案。关键洞察：每一轮只需要收买”在自己被否决后过得最差”的人。
章末提问
追问 1：为什么必须逆向归纳，正着推为什么不行？
回答思路：结论是正推无法确定，因为每轮提案的通过条件取决于”被否决后下一轮的分配”，这层依赖一直延伸到最后一轮；只有最后一轮无后续、结果确定，因此必须以它为起点倒推。
追问 2：为什么给被收买者 1 枚金币就够，不需要更多？
回答思路：结论是 1 枚就够，因为被收买者在”提案被否决”的结局里是 0 枚，1 枚严格更优；在绝对理性假设下，用最低成本 1 枚即可换到赞成票，多给只会减少自己的收益。
追问 3：如果改成 100 个海盗、100 枚金币，结果有什么规律？
回答思路：结论是按逆向归纳模式化——第 n 个提案者拿 100 减去需收买的票数，编号同奇偶的海盗轮流拿到 1 枚或 0 枚；核心不变：只收买”否决后过得最差”的人，成本最低。